数学教育アカデミー　コラム　分数の指導における問題点

ＴＯＰ ｜ 基本理念 ｜ コラム ｜ 教　材 ｜ Ｑ＆Ａ ｜ お問い合わせ

算数・数学

08. 分数の割り算の指導をいかにするべきか？

教師も認識できない「まずい教え方」

これは、教育者の方を直接の対象として書きます（ちょっと難しい用語が出てきます）。でも、どうぞ、お母様お父様方もお読みください。

長くなったので、起承転結の4部構成とし、各パートもⅠ～Ⅳの4部で構成するようにしました。大きくは、起：「現状」、承：「問題点」、転：「解決と創造」、結：「総括（展望）」となります。

　　　　　　　　　　　　　起

Ⅰ.小学校の先生は、指導要領の縛りがありますから、「小学校2年生で分数を」と聞かれても、「そんなことできるわけがない」とお思いになる方も多いでしょう。

実際、学校教育の中では、今現在は難しいと思います。

Ⅱ.私は中学生を教えてきた経験があります。その中で、指導要領が変わってから、いろいろなところで学力低下を感じる場面がありました。それまでは小学校での学習のおかげで難なく通過できたところが、スッと通過できなくなった、という具合にです。

おそらくは、高校の先生も中学校に対してそれと同じことを感じているでしょう。

「ゆとり」の名のもとに学習内容と授業時数を削ったことの弊害の一つです。

中学校で数学の授業時数が削減されたというのは致命的に大きなダメージです。1週間に４時間あった授業が3時間しかなくなった。行事で授業がなくなることもあるわけですから、そのような時は、ひどいときは１週間丸まる授業がないこともあると、私の友人は嘆いておりました。

授業時数が削られることが即そのようなダメージにつながる、ということは、学校関係者でなくとも理解できます。

小学校は学級担任が主な教科をすべて教えますから、中学校よりは授業時数に自由がきくのではないかと思いますが、それでも、大きな部分での弊害は同じでしょう。

そうすると、大きな疑問が起こります。

そのような厳しい制約の中で、果たして、どれだけの児童に、本当に学習内容を習得させることが可能だろうか？ということです。

それは、学校だけでできることでは当然なく、家庭での教育が大切なのですが、昨今家庭でも地域でも教育力が低下している中で、学校ではどれだけのことができ得るのでしょうか？

「学習内容」を「分数」に限って見ます。

果たして、どれだけの児童が、分数の基本を習得できているのでしょうか？

Ⅲ.さて、なぜ、私がここでこんなことを書くか？　その理由があります。

先週、近くの書店に行って、児童用の参考書、問題集をズーーッと見ていきました。

大きな疑問が起こりました。

はっきり言って、どの本を見ても分かりにくかったのです。

そこには、1冊の本を出版するというさまざまな条件の中での制約があります。

けれども、それだけではない、指導法そのものの問題点があると思いました。

そのことについて、くわしく書くことが目標なのですが、先に話を端折って、結論を言います。

ちなみに、数学教育アカデミーは、算数・数学のリズムに触れさせてあげることを大切な柱の一つとします。したがって、幼児以上の子供に算数の学習をさせるのには、「理由はどうでもいいからやり方だけ覚えなさい」ということは決してしません。

分数の割り算に話をしぼります。

結論を言うと、

　　　　今の指導法は難しい

ということです。

分数の割り算の理由をきちんと教えるという、「解答」を示そうとしている姿勢は高く評価できるのですが、…。

しかし。　　　むつかしい。

Ⅳ.そこで話ははじめに戻ります。あれで、児童みんなが生き生きと「分数がよくわかった！」となるのなら、ひとまず問題はありません。

しかし、中学生の昨今の現状を見ると、なかなか、そうはなってないのではないかな？と思うのです。

小学校低学年で教え込むことが中途半端になって、先送りした分が中学年に持ち越され、そして、高学年になった頃には、ツケを支払わなければならない新たな「しんどさ」が加わるのではないか？

そのような中では、分数が分からない児童を、そのまま落ちこぼしていくことが避けられなくなっていはしないか？

もどる

　　　　　　　　　　　　承

では、具体的に問題点を挙げてみます。

しかし、長くなりますので、アウトラインだけになります。

Ⅰ.現在どの教科書も、

例題１　haの土地を時間で耕せる耕運機で、1時間に何ha耕せるか。

このようなタイプの問題で教えるようになっています。（板にペンキを塗るとか、花壇に水をやるとか、バリエーションはいろいろありますが。）

これは優れた問題ではありますが、一つの難しさをふくみます。

それは、「2文並列」の問題であるということです。

そして、この中にあるのは「比例」の構造です。

その2つの考え方にまず習熟しなければ、これがになるということがまず理解できません。（ここでは、この割り算の意味は「等分除」です。）

じつは、「この問題が割り算になる」ということを「実感的に理解できない」ことが、この問題で指導することの最大の問題点なのです。

指導要領では、5年生の「小数の場合の計算の考え方を基にして」、6年生の分数の「除法の意味について理解」させる、となっています。

ですから、この問題が割り算になるということは、すでに5年で習得済みであるとして、6年生では軽く復習する程度で次の段階に進んでいく、そういう指導になってしまうことが多いようです。

けれども、5年生で、端数のある小数で割るということに「実感的理解」が得られているかといえば、それは指導要領や書店にある参考書等を見る限り、そのような指導は「できていない」といわざるを得ません。

6年生の指導では、多くの指導者は、これが割り算になるということは軽くサッと流して、次の段階に入っていくようです。

けれども、心ある指導者は、言葉の式から「当てはめ」て割り算の式を導いたり、かけ算の逆算であることから代数的に導いたりして、割り算になることの説明をきちんとしています。

しかし、そのように「配慮」して指導したとしても、それだけで済ませたのでは児童に確たる「実感的理解」をさせることはできません。

それは一つの「抽象化」なのです。そして、そこには、しっかりとした指導上の理論と青写真がいるのです。決して、こ簡単な導入で済ませるべきことではないのです。

「抽象化」については後で述べます。

Ⅱ.数学教育アカデミーでは「感情的に納得できる」ということが、とても大切であると考えます。それは、単なる理解ではなく、もっと深いところからおこってくる「ウン！納得できた」という感情なのです。これを先ほど「実感的理解」と呼んでみました。

（数学教育アカデミーではこれを、《情知意サイクル》の《情》と呼びます。）

（分数）÷（分数）を等分除で考えることは、この指導の後半の部分に強みを持っているのですが、逆に、はじめの「感情的納得」がしにくいというところに、大きな難点をふくみます。

子供が「分からない」と言うとき、単にやり方が分からないのではなく、いったいそれがどういうことなのか納得がいかない、ということを言っていることが多いのです。

指導する教師は、そこのところを把握しておかなければ、ただ単に「自己満足」のためにこの授業をやるということになってしまいます。

Ⅲ.この問題（や同種類の問題）の、答を見つける考え方は、いろいろあります。

ただし、どのやり方をやるにしても、いったん出題してそれを「考えよう」とやった以上、「実感的理解」が伴うようにしてあげなければなりません。

まず、面積図を描いて考えるというやり方ですが、これも一つの「抽象」ですから実体と結びついているという「情的な納得感」を児童が持てるようにしましょう。

上の出題であれば、横4本線で区分けされた長方形の土地の下２区間分の土地を、左から右に向かって耕運機がダーーーッと耕していっているというイメージが見えるように。

もし、板にペンキを塗るという形で出題するのであれば、板のみならず、ペンキを入れた缶も横において置くように。…などなど。

これらを、くわしく図を入れて解説すれば分かりやすくなるでしょうが、そうすることがここの目的ではないので割愛します。（必要なら別のコラムでやります。）

次に、線分図でやる場合は、それが、面積図以上に抽象化されたものであることを認識しておかなければなりません。

抽象化するということは、それだけより強力な思考法を手に入れるということです。（この線分図はかなり強力な思考法ですから、是非どこかで児童には習得させてあげたいと思いますが。）

ですから、それを否定する気は毛頭ないのですが、ところが、今は、ここに警鐘を鳴らすのです。

教える側が、児童も分かっているつもりになって、あまりにも簡単にその「抽象化」を進めてしまうと、そこで児童の「実感的理解」と乖離してしまうことになるからです。

さて、さらに、式変形で解決するやり方で行く場合、

（式変形で解決するやり方は、最も強力だけれども、最も抽象化は進んでいます。すなわち、最も、「実感的理解」はしにくいものです。）

「被除数」と「除数」の両方に同じ数を掛けても「商」は等しい

あるいは、

「被除数」と「除数」の両方を同じ数で割っても「商」は等しい

ことを使います。

その上で、いろいろなアイディアを出すことができます：

（ア）「除数」を１にする。（イ）「被除数」と「除数」を整数にする

　（ウ）「除数」を整数にする　

また、（イ）と同じことにはなるのですが、「被除数」と「除数」を通分する。

他にも、逆数同士を掛け合わせると1になることを利用して式変形で答を求めることができます。

などなど…。

以上のように、この例題１のタイプの出題は、後半がとても面白いでしょう。さまざまな考えが出せるという点において。

Ⅳ.けれども、もう一度言うと、この問題の難点は、

「実感的理解」が行きにくい点がたくさんある

ということです。

「実感的理解」ができた上で、Ⅲで述べた「後半」の部分に進むのならば、大変面白いでしょう。指導者にとても、児童にとっても。

しかし、初めて分数の割り算を学習する児童に出すには、「実感的理解」ができるまでに乗り越えるべきことが多すぎるのです。

この「分数の割り算」の学習に入るまでに、すでに息絶え絶えになっている児童がいたとしたら（たとえば小数の学習ですでに「落ちこぼされて」仕舞っていたとしたら）、その児童は、この例題が提示された時点で振り落とされてしまうことになりはしないでしょうか？

したがって、指導する側にある者は、指導する側の感覚、論理だけで進めてはいけません。必ず、クラスの中の「この学習がしんどいかな」と思う児童に自分がなってみて、そして、分数の指導計画全体をその児童の目を持って歩いてみる必要があります。

そして、もうひとつ大切な事を述べますと、先ほど何度も言った「抽象化」は、小学校の段階で避けて通ることはできないということです。

いろんなレベルの「抽象化」を児童は経験していくわけですが、分数や小数の割り算のところで、「代数的処理による抽象化」の壁が現れてくるのです（数学の文字式や方程式へのさきがけです）。

このことを、指導者はしっかりと意識しておく必要があります。

現行の指導要領では、5年生の「小数の割り算」のところで、これを超えなければならないようです。

それを基にして、6年生の分数の割り算をやるように書かれてはいます。

どこで、「抽象化」の飛躍をさせるのか？　これを、指導者はしっかりと把握した上で、そのことに対する手立てが十分になされた指導をしなければなりません。

何度も言います。

小学校でなぜ分数の割り算の指導が難しいのかといえば、「分数や小数など端数のある数で割る」ということの実感的理解をさせにくいということにあるのです。

それは、まさにこれから「代数的処理による抽象化」の飛躍をしようとするそのときに、飛躍のための踏みしめが不十分になって倒れてしまうようなものでしょう。

これには、きちんとした指導理論が必要です。

もどる

　　　　　　　　　　　　転

Ⅰ.まとめますと。

今の指導要領の配列では、この「代数的処理による抽象化」を小学校高学年でやるようになっています。それまでに、身につけるべき「装備」が多すぎて、すでにこの時点で「装備不十分」な児童ができてしまっていることが危惧されます。

そしてまた、教科書会社の採用している例題１タイプの問題による指導法を見てみると、これではさらに「重たく」なりすぎて、「代数的処理による抽象化」の翼はうまく羽ばたけないだろうな、という気がします。

実感的な理解がすぐに難なくできること。そして、力強く羽ばたくこと。

そのためには、できるだけ重荷を下ろして軽くしたほうがいいのです。

重荷を下ろす。

それは、

小学校３年生までの知識のみで、分数を全部やり上げてしまう

ということです。

分数で割る割り算もしかりです。

Ⅱ.数学教育アカデミーの独自カリキュラムを、少しだけ紹介しましょう。

分数に入るための予備知識としては、

四則計算の基本ができること

リットルやｃｍの単位を理解していること

大小関係を不等号を使って表せること

これだけです。小数も割合もまったく必要ありません。また、最大公約数や最小公倍数の学習も必要ありません。

実感的理解には、りんごを使います。それも、包含除です。ただし、それで、分数による割り算のすべての場合をやるのではありません。

ここに、指導法における大切な理論があります。《ステージ・リミテーション》といいます。（詳細は『秘法　スーパーらくらくスタディ　直伝編』参照）。

ここから、一気に、「代数的処理による抽象化」へと羽ばたきます。

それは、（被除数）÷（除数）＝（商）の定義を（除数）×（商）＝（被除数）とすることから始まります。

それだけです。

こうして、定義から2つの定理「任意の分数の逆数は存在する」と「割り算は割る数を逆数に変えて掛ければよい」を導き出すのです。数学的証明の部分は、文字を使った証明でこそないけれども、その手法は、純粋に数学的なものです。

あとは、定理を使う練習ということになります。

もちろん、ここまでの理論だけでは、まだ指導法としては不十分なのであって、このあと、さらに小学2年生にらくらくと理解していける「ユーザーインターフェース」が必要なことは言うまでもありません。

確かに、初めて「代数的処理による抽象化」へと羽ばたくこの数学的証明の部分は、いかに《スーパーらくらくプリント》による高度なユーザーインターフェースを使うとはいえ、小鳥が生まれて初めて羽ばたき巣立ちをするときのような、緊張感を伴います。

それでも、はじめはぎこちなくても、少なくともこうしてこの道を歩むことで、子供は一つの「体験」をするのです。

Ⅲ.さて、小学校3年生で「代数的処理による抽象化」を体験し終えた児童は、どうなるでしょうか？

こうなります。

もはや、小学校で学習することの中の、本質的最大の難関は通り越えたわけです。

2つの流れが生まれます。

１つは、この、「代数的処理による抽象化」をさらに進めていって、数学の世界を探索していくという流れです。

方程式をマスターすることも容易になります。（もちろん、新しく乗り越える新たな抽象化の壁…とりあえずは文字式の導入、はありますが。）

もうひとつは、算数の世界の探索を改めて楽しみながら深めるという流れです。

それは、この分数という山頂を極めた後に、そこから見えるお花畑へ遊びに行くようなものでしょう。

すなわち、分数による割り算を、リンゴによる包含除だけでもう一度考えてみる、とか、リンゴによる等分除ではいったいどう考えたらいいんだろうかとか、です。

あるいは、割合の勉強も、それと同じような分数の延長と考えて、遊びに行くことができるのです。

そうして、遊びながらさらに思考や知識の枠を広げていきます。

「難しい」とよく言われているところの勉強が楽しくなります。

これは、最高の学習です。

ちなみに、数学教育アカデミーでは、リンゴによる分数の割り算のすべての解答も用意しています。

リンゴによる包含除を完結させるためには、《スーパーらくらくディッシュ》という特殊な道具を使います。また、リンゴによる等分除を完結させるためには、《スーパーらくらくサイボーグ》という特殊開発サイボーグに登場してもらいます。

（これは、いずれ専用コラムで紹介する予定です。これらは《スーパーらくらくプリント》では触れません。）

Ⅳ.このコラム最初に掲げた例題のような問題は、数学教育アカデミーでは、直接扱いません。（その点も、教科書にあわせている学習塾や通信教育などとは、まったく違います。）

「学習内容すべてを扱わない」ということも、指導法においては大切なことなのです。

すべてを教えてしまうことが必要ではないのです。

子供が自分で学んでいく、その材料もきちんと残しておくこと。

自分で学ぶ力を育むためには、とても大切なことです。

小学3年生までに《スーパーらくらくプリント》で分数をやり終えた子供にとっても、上記の例題１のような問題が授業で提示されると、それは未知の問題として目を輝かせることになるでしょう。そして、みんなと一緒に、考えることを十二分に楽しむことができるでしょう。

つまり、授業よりも先に学習して「自分は人よりも知っている」というような「天狗」になることもないし、できない友達を馬鹿にするというようなこともありません。

もどる

　　　　　　　　　　　　結

最後に、総括してみます。

Ⅰ.指導要領の縛りを受ける学校の中では難しいことではありますが、学校の授業というものから離れれば、今述べた指導法は十分に可能です。

小学2年生で約分もやろうと思ったら、学校で学ぶよりも先に割り算までやっておく必要があるので、家庭における早期の教育が必要になります。

しかし、学校で割り算も学習した後、《スーパーらくらくプリント》を使っての分数の学習に入るとすれば、学習可能な層はかなり広がります。

Ⅱ.では、学校においてこの指導法は、現在どのように役立てることができるでしょうか？

ズバリ、個別指導です。それも、学習が遅れている児童にです。小学校4年生でも、5年生でもＯＫです。

必要とされる予備知識が少なくてもその学習に入れるということは、どのようなメリットがあるのでしょうか？

いろいろありますが、次のメリットを見てください。それは、たとえば、

たとえ小数がまったくできなくても分数の学習ができるということ。

どうでしょうか？つまり、他の単元で何らかの理由で授業についていけなくなっていたとしても、それはまったく関係なく、分数の学習のスタートラインに立てるということです。

そしてもう一つは、

一気に分数の学習の頂まで上れるので、学習の遅れを取り戻せるということ。

逆転追い越し現象も起こり得ます。去年までクラスで「学習遅滞」とされていた児童が、今年は一気に「できる」児童になっている、というようなことです。

学習内容が「精選」されているので、このような「ワープ」が、らくらく可能になるのです。

Ⅲ.さて、教育に関わるすべての方々（お母様お父様も）。

ここまでお目を通してくださいまして、ありがとうございました。本当に長い道中をどうもありがとうございました。よくお読みくださいました。

以上のことからお分かりになっていただけましたでしょうか？

「小学校2年生から分数の学習を始めて、1年間で終えることができる道がある」

ということは、

「算数・数学を探索することを楽しむことができ、人間性が豊かになる」

のみならず、

「もしも現在子供が、分数の学習で苦労している、もしくはつまずいてしまっている、というようなことがあったとしても、それを、取り戻し逆転させることができる」

ということなのです。

しかも、らくらくと。

Ⅳ.この道は、「小学校3年生で方程式まで理解して解けるようになる道」であると同時に、「最も学習についていけなくて苦しんでいる子供が救われる道」でもあります。

そして、「自分で学ぶ力を育む道」であり、さらに、「本当に豊かな人間性を育むことを目指す道」でもあるのです。

私たち、教育に関わるすべての者の願いは、次の一点に尽きるのではないでしょうか：

すべての子供の苦しみが取り除かれ、そして笑い声が漏れ笑顔があふれること。

起 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

承 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

転 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

結 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

　　　　　　　　　　ページの最初にもどる

　　・